Determinanten und Matrizen by Prof. Dr. Fritz Neiss (auth.)

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Abstract algebra

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Algebra for College Students , Ninth Edition

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Aleph 0/Algèbre. Terminale CDE. Nombres réels, calcul numérique, nombres complexes

Los angeles assortment Aleph zero est une série de manuels de mathématiques publiée lors de l’application de los angeles réforme dite des « maths modernes ».

Contenu de ce volume :

Préface
Mathématique/Classes terminales. Nouveaux programmes (Arrêté du 14 mai 1971), sections A, B, C, D et E
Alphabet grec

1 Nombres réels
    1. 1 Propriétés de l’ensemble ℝ
        1. 1. 1 Corps commutatif totalement ordonné
        1. 1. 2 Corps des nombres réels
        1. 1. three Bornes supérieures et inférieures
        1. 1. four Intervalles emboîtés et suites adjacentes
        1. 1. five Théorème d’Archimède
        1. 1. 6 Valeurs approchées d’un nombre réel
        1. 1. 7 Corps des nombres rationnels
        1. 1. eight Valeur absolue d’un nombre réel
        1. 1. nine Congruences dans ℝ
        1. 1. 10 Automorphismes de ℝ
        Exercices

    1. 2 Calculs d’incertitudes
        1. 2. 1 Incertitudes
        1. 2. 2 Représentation décimale d’un nombre réel
        1. 2. three Incertitudes sur une somme et une différence
        1. 2. four Incertitudes sur un produit et un quotient
        Exercices
        Problèmes

2 Corps des nombres complexes
    2. 1 Corps ℂ des matrices (a -b; b a)
        2. 1. 1 Définition
        2. 1. 2 Le groupe (ℂ, +)
        2. 1. three Le corps commutatif (ℂ, +, . )

    2. 2 Espace vectoriel de ℂ sur ℝ
        2. 2. 1 Le sous-espace vectoriel ℂ sur ℝ
        2. 2. 2 Base et measurement de l’espace vectoriel ℂ
        2. 2. three Isomorphisme de ℝ et d’un sous-corps de ℂ
        Problème

    2. three Nombres complexes
        2. three. 1 l. a. notation z = a + ib
        2. three. 2 Opérations sur les nombres complexes
        2. three. three L’équation z² = a, a réel
        2. three. four Nombres complexes conjugués
        2. three. five Applications
        Exercices

    2. four Module d’un nombre complexe
        2. four. 1 Norme et module
        2. four. 2 Inégalité de Minkowski
        2. four. three Le groupe multiplicatif U des complexes de module égal à un
        Exercices

    2. five Représentation géométrique des nombres complexes
        2. five. 1 Plan vectoriel et plan affine identifiés à ℂ
        2. five. 2 Interprétations géométriques
        2. five. three l. a. symétrie airplane axiale
        Exercices
        Problèmes

3 Forme trigonométrique des nombres complexes
    3. 1 Rappels et compléments
        3. 1. 1 Le groupe des matrices (a -b; b a), a² + b² = 1, et le groupe A des angles
        3. 1. 2 Le groupe additif ℝ/2πℤ et le groupe additif A des angles
        3. 1. three Conclusion

    3. 2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
        3. 2. 1 Homomorphisme θ du groupe additif ℝ sur le groupe multiplicatif U
        3. 2. 2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe de module 1
        3. 2. three Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

    3. three Argument d’un nombre complexe non nul
        3. three. 1 Isomorphisme du groupe (ℝ/2πℤ, +) sur le groupe (ℂ*, *)
        3. three. 2 Argument d’un nombre complexe u et forme trigonométrique de u
        3. three. three Formule de Moivre
        3. three. four Argument d’un nombre complexe z non nul
        3. three. five Propriétés de l. a. fonction argument de z
        3. three. 6 Cas des nombres réels et des nombres imaginaires purs
        3. three. 7 Résumé des propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe non nul
        3. three. eight Exemples de calculs
        Exercices

    3. four functions trigonométriques
        3. four. 1 Calcul de cos nx et de sin nx, x étant réel (n = 2, n = three, n = 4)
        3. four. 2 Complément : étude du cas général
        3. four. three Linéarisation des polynômes trigonométriques
        3. four. four Notation e^(ix)
        Exercices
        Problèmes

4 purposes des nombres complexes
    4. 1 purposes géométriques des nombres complexes
        4. 1. 1 Plan vectoriel euclidien et argument d’un nombre complexe
        4. 1. 2 Plan affine euclidien et argument d’un nombre complexe
        4. 1. three Représentations de nombres complexes. Exercices
        Exercices

    4. 2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4. 2. 1 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4. 2. 2 Représentation des racines n-ièmes
        4. 2. three Racines cubiques de l’unité
        4. 2. four Racines quatrièmes de l’unité
        4. 2. five Racines n-ièmes de l’unité
        4. 2. 6 Racines n-ièmes d’un nombre complexe z et racines n-ièmes de 1
        4. 2. 7 Racines carrées d’un nombre complexe z non nul
        Exercices

    4. three Résolution d’équations dans le corps ℂ
        4. three. 1 Résolution de l’équation définie sur ℂ par az + b = 0
        4. three. 2 Résolution de l’équation du moment degré, sur ℂ, à coefficients complexes
        4. three. three Équation du moment degré à coefficients réels sur ℂ
        4. three. four Exemples de résolution d’équations du moment degré
        4. three. five Applications
        4. three. 6 Résolution, sur ℝ, de l’équation a cos x + b sin x + c = 0
        Exercices
        Problèmes

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Ls = DAB-l. IX und ß durchlaufen die Werte von I bis r, " und Ä die Werte von I bis s. Zum Beweise sei folgende Anleitung gegeben: Wir setzen dann wird 2:(1. fl b(1.!. ' 37 § 18. Aufgaben. Durch zeilenweise Multiplikation und unter Beachtung des Beispiels 8 § 13 und des Satzes 15 bestätige man folgende Identität: (_1)8 DAr+s-l = an' .. arr bn ... brs Cn ... dn ... d lS CH CH' •• Csr dSl ... dss An ... AIr 0 O. . 0 An··· A rr 0 Cn ... CIr-A 0 ... 0 0 ... 0 C2l ... C2r O-A ... 0 CH ... Csr 0 ...

D bleibt schiefsymmetrisch, wenn die i te und k te Spalte und zugleich die i te und k te Zeile vertauscht werden. ß) Desgleichen, wenn die mit Ä. multiplizierte i te Spalte zur kten und die mit Ä. multiplizierte i te Zeile zur k ten addiert werden . y) D läßt sich auf die Form bringen, in der a l2 = - a 21 =F 0, während alle übrigen Elemente der ersten Zeile und ersten Spalte verschwinden. b) Danach wird D Produkt aus ai2 und einer schiefsymmetrischen (n-2)-reihigen Determinante, die auf Grund einer Induktionsannahme die gewünschte Form besitzt.

H. die Zahl der Bedingungen ist ebenso groß wie die Zahl der zu bestimmenden Größen. Beweis: Wir bringen durch linksseitige Multiplikation der Reihe nach die Faktoren $ik auf die andere Seite und bestimmen die Winkel. P12) S = % = (tik) das Element t 2l = 0 wird. P12 = O. P12 5 21 = --. P13 in gleicher Weise ermittelt. PIS = 0 58 Matrizen. Wir beachten noch, daß t 21 = 0 war und auch bei dieser Umformung nicht verändert wird, denn die Multiplikation der zweiten Zeile aus \,\313 ( - fP13) mit der ersten Spalte aus % ergibt O·t11 + 1·t21 + 0·t31 + ...

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