Abstract algebra by Dummit D. S

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Abstract algebra

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Algebra for College Students , Ninth Edition

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Aleph 0/Algèbre. Terminale CDE. Nombres réels, calcul numérique, nombres complexes

L. a. assortment Aleph zero est une série de manuels de mathématiques publiée lors de l’application de l. a. réforme dite des « maths modernes ».

Contenu de ce volume :

Préface
Mathématique/Classes terminales. Nouveaux programmes (Arrêté du 14 mai 1971), sections A, B, C, D et E
Alphabet grec

1 Nombres réels
    1. 1 Propriétés de l’ensemble ℝ
        1. 1. 1 Corps commutatif totalement ordonné
        1. 1. 2 Corps des nombres réels
        1. 1. three Bornes supérieures et inférieures
        1. 1. four Intervalles emboîtés et suites adjacentes
        1. 1. five Théorème d’Archimède
        1. 1. 6 Valeurs approchées d’un nombre réel
        1. 1. 7 Corps des nombres rationnels
        1. 1. eight Valeur absolue d’un nombre réel
        1. 1. nine Congruences dans ℝ
        1. 1. 10 Automorphismes de ℝ
        Exercices

    1. 2 Calculs d’incertitudes
        1. 2. 1 Incertitudes
        1. 2. 2 Représentation décimale d’un nombre réel
        1. 2. three Incertitudes sur une somme et une différence
        1. 2. four Incertitudes sur un produit et un quotient
        Exercices
        Problèmes

2 Corps des nombres complexes
    2. 1 Corps ℂ des matrices (a -b; b a)
        2. 1. 1 Définition
        2. 1. 2 Le groupe (ℂ, +)
        2. 1. three Le corps commutatif (ℂ, +, . )

    2. 2 Espace vectoriel de ℂ sur ℝ
        2. 2. 1 Le sous-espace vectoriel ℂ sur ℝ
        2. 2. 2 Base et measurement de l’espace vectoriel ℂ
        2. 2. three Isomorphisme de ℝ et d’un sous-corps de ℂ
        Problème

    2. three Nombres complexes
        2. three. 1 los angeles notation z = a + ib
        2. three. 2 Opérations sur les nombres complexes
        2. three. three L’équation z² = a, a réel
        2. three. four Nombres complexes conjugués
        2. three. five Applications
        Exercices

    2. four Module d’un nombre complexe
        2. four. 1 Norme et module
        2. four. 2 Inégalité de Minkowski
        2. four. three Le groupe multiplicatif U des complexes de module égal à un
        Exercices

    2. five Représentation géométrique des nombres complexes
        2. five. 1 Plan vectoriel et plan affine identifiés à ℂ
        2. five. 2 Interprétations géométriques
        2. five. three l. a. symétrie airplane axiale
        Exercices
        Problèmes

3 Forme trigonométrique des nombres complexes
    3. 1 Rappels et compléments
        3. 1. 1 Le groupe des matrices (a -b; b a), a² + b² = 1, et le groupe A des angles
        3. 1. 2 Le groupe additif ℝ/2πℤ et le groupe additif A des angles
        3. 1. three Conclusion

    3. 2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
        3. 2. 1 Homomorphisme θ du groupe additif ℝ sur le groupe multiplicatif U
        3. 2. 2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe de module 1
        3. 2. three Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

    3. three Argument d’un nombre complexe non nul
        3. three. 1 Isomorphisme du groupe (ℝ/2πℤ, +) sur le groupe (ℂ*, *)
        3. three. 2 Argument d’un nombre complexe u et forme trigonométrique de u
        3. three. three Formule de Moivre
        3. three. four Argument d’un nombre complexe z non nul
        3. three. five Propriétés de l. a. fonction argument de z
        3. three. 6 Cas des nombres réels et des nombres imaginaires purs
        3. three. 7 Résumé des propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe non nul
        3. three. eight Exemples de calculs
        Exercices

    3. four functions trigonométriques
        3. four. 1 Calcul de cos nx et de sin nx, x étant réel (n = 2, n = three, n = 4)
        3. four. 2 Complément : étude du cas général
        3. four. three Linéarisation des polynômes trigonométriques
        3. four. four Notation e^(ix)
        Exercices
        Problèmes

4 functions des nombres complexes
    4. 1 functions géométriques des nombres complexes
        4. 1. 1 Plan vectoriel euclidien et argument d’un nombre complexe
        4. 1. 2 Plan affine euclidien et argument d’un nombre complexe
        4. 1. three Représentations de nombres complexes. Exercices
        Exercices

    4. 2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4. 2. 1 Racines n-ièmes d’un nombre complexe
        4. 2. 2 Représentation des racines n-ièmes
        4. 2. three Racines cubiques de l’unité
        4. 2. four Racines quatrièmes de l’unité
        4. 2. five Racines n-ièmes de l’unité
        4. 2. 6 Racines n-ièmes d’un nombre complexe z et racines n-ièmes de 1
        4. 2. 7 Racines carrées d’un nombre complexe z non nul
        Exercices

    4. three Résolution d’équations dans le corps ℂ
        4. three. 1 Résolution de l’équation définie sur ℂ par az + b = 0
        4. three. 2 Résolution de l’équation du moment degré, sur ℂ, à coefficients complexes
        4. three. three Équation du moment degré à coefficients réels sur ℂ
        4. three. four Exemples de résolution d’équations du moment degré
        4. three. five Applications
        4. three. 6 Résolution, sur ℝ, de l’équation a cos x + b sin x + c = 0
        Exercices
        Problèmes

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Sample text

HOM-TENSOR ADJOINTNESS 41 is exact. 5 it suffices to show that, for every R-module P , the following sequence is exact: Hom(M ⊗g,P ) Hom(M ⊗f,P ) 0 → Hom(M ⊗N , P ) −−−−−−−−−→ Hom(M ⊗N, P ) −−−−−−−−−→ Hom(M ⊗N , P ). The left-exactness of Hom(−, P ) implies that the following sequence is exact: Hom(g,P ) Hom(f,P ) 0 → Hom(N , P ) −−−−−−→ Hom(N, P ) −−−−−−→ Hom(N , P ). The left-exactness of Hom(−, Hom(M, P )) implies that the bottom row of the following diagram is exact: 0 0 / Hom(M ⊗ N , P ) / Hom(M ⊗ N, P ) / Hom(M ⊗ N , P ) ∼ = Φ ∼ = Φ ∼ = Φ  / Hom(N , Hom(M, P ))  / Hom(N, Hom(M, P ))  / Hom(N , Hom(M, P )).

The Z-modules Q and Q/Z are injective. Proof. 11. 13. Let G be a Z-module. (a) For each non-zero element 0 = g ∈ G, there is a Z-module homomorphisms φ : G → Q/Z such that φ(g) = 0. 1. INJECTIVE AND PROJECTIVE MODULES 47 (b) The natural Z-module homomorphism δG : G → HomZ (HomZ (G, Q/Z), Q/Z) given by δG (g)(ψ) = ψ(g) is a monomorphism. Proof. (a) Let Zg ⊆ G denote the Z-submodule of G generated by g, and set AnnZ (g) = {n ∈ Z | ng = 0}. It is straightforward to show that AnnZ (g) is an ideal of Z.

7(a) shows that (U −1 R) ⊗R M is an U −1 R-module. Also, U −1 M is an U −1 R-module, and it is straightforward to show that the map F is an U −1 R-module homomorphism. 1 The map F is surjective because m u =F u ⊗m . 1 To see that F is injective, fix u ⊗ m ∈ Ker(F ). ) Then 0 = F u1 ⊗ m = m u implies that there exists an element u ∈ U such that u m = 0. Hence, we have 1 u ⊗m= ⊗m= 1 uu g(m) u , so ((RU ⊗R g)( ur ⊗ (c) We have U −1 g F u uu m u ⊗ (u m) = 1 uu ⊗ (0) = 0. 8. Since localization is exact, we know that U −1 N• is exact.

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